重整化群
renormalization group
簡介
重整化群（renormalization group, RG）是一個在不同長度標度下考察物理系統變化的數學工具。重整化就是對模型進行了某種簡化，結果能達到同樣的模擬效果。就好像地圖對實際地形進行了某種簡化，比如比例變化了，減少了很多細節，但是能夠反應相同的性質。之所以可行，是因為系統的不同層級之間存在某種自相似性，就好像河流的分形。
對於有自相似的系統，在不同的標尺刻度下進行觀察時，會發現系統有所謂的「標度不變性」。一般的系統在標尺放大(粗粒化)時，細節會被平均掉，丟失了一部份資訊(不可逆)，可能結成結構的改變，而自相似系統即使在標尺放大時，表示出的結構或物理行為本質上相同，此稱為「標度不變性」。
重整化群的前提是在臨界點附近的粗粒化才有效，否則資訊丟失太多，無法抓住物理本質。重整化群的意思就是一個粗粒化處理（類似zoom out），由於系統有自相似性，zoom out後系統並沒有改變，不過當中一些無關的特徵在zoom out後被減弱了，那我們就知道系統中那一些引數是不必要的。
基本思想
重整化群的基本思想是把關聯長度發散的臨界點與非線性變換的不動點聯絡起來，這是統計物理學的一種新的方法。即不直接計算配分函數(partition function) Z，而是研究配分函數z保持不變的變換性質。
模型越精確就越復雜，因此要在兩者之間取平衡。
對於一個奈米尺度發生的物理現象，要建立模型；
但是直接用比這個尺度小1000倍以上層次的物理規律的計算量太大且太復雜，但是又想知道這個小1000倍的物理方法對模型精確度的影響。
而重整化就是系統化的評估這些忽略掉的細節，對我的結果會有多大的精度影響，以及可用相對簡單的方式，把這些忽略掉的細節包括到模型當中。
例如研究海洋的洋流和渦旋，不需要知道跨克和膠子間如何互相作用。但可用重整化群評估跨克膠子之間的作用對海洋的洋流有多大的影響，可用一種簡單的方法把這個影響包含到模型當中，使得精度提高。
比喻
你給電腦裡輸入了水分子的真實大小（一個引數），形狀（比如說用了2000個引數描述）和不同距離的作用力（又用了2000個引數），你的超級計算機很厲害，直接模擬了10^26個水分子。然後你把鐵球也建模放了進去，用計算模擬的方法算出了讓鐵球慢慢前進需要克服的阻力。和實驗一比，發現精確吻合。
這時發現模擬佔用了太多cpu時間，希望能夠降低計算量。
你想了想，覺得鐵球這麼大，你不用把模擬搞得這麼精細也能得到正確答案。所以你決定把模擬用的水分子體積加10倍，這樣就只要模擬10^25個分子了。但是光這樣搞不行，得出的結果肯定不對，因為有些奈米級的小運動造成的巨集觀效果沒了。這時可以試著改改另外那4000個引數，說不定能把失去的東西給補償回來。於是你用更大的分子和新的引數重新計算，精確的再現了之前得到的資料。（注意，這時你已經對你的系統進行了一次 renormalization）
但發現模擬還是佔用了太多cpu時間，希望能夠再降低計算量。
如果能把cpu時間降到1/10000000000，你就把剛才那個增大分子尺寸+調整引數的過程重復了10遍，現在你的分子體積比真實水分子大10^11次方倍，但是你仍然算出了和實驗精確相符的阻力。
在你的方法裡，把為了簡化計算發明的這個方法叫Renormalization group (RG)。把每次模擬時水分子的大小叫做RG scale, 然後你把每次用的引數按照水分子的大小列了個表，把它們在尺寸增加時的變化，叫做引數的RG running。你把用這種方法得到的這個新模型，叫做low energy effective theory （EFT）。
最後，你有點驚訝的發現，當你一步步增大水分子尺寸時，本來都很關鍵的4000個引數，有些直接變成0了，有些引數和其它的引數成正比了。總之到最後，你只用了大概10個自由引數就完美的描述了這一杯水。你把那些最後沒用的引數叫irrelevant parameters，把它們描述的形狀/作用力叫irrelevant operator。你把這些irrelevant parameter/operator 都去掉，得到的那個精簡的理論模型就叫做renormalizable theory。它和你之前得到的EFT幾乎是一樣的。
但是如果只有模擬兩個水分子，模型會失效，如果我的水分子選的比我的鐵球還大，那無論怎麼調引數，我的計算肯定失敗（在水分子的例子裡，RG scale不應當接近鐵球的尺寸，在真正的場論裡，有技術可以允許把RG scale選擇的和物理過程的尺寸相當。但是在任何情況下，RG scale都不應該比物理過程的尺寸更長。）
而且，重整化了很多次之後，似乎你得到的這個的系統越來越不像一個個水分子。那它像什麼呢？你發現剩下的那幾個引數裡，其中一個的計算值和實驗測出來的密度一樣，其中一個和溫度一樣，另一個和壓力一樣，等等。也就是說這個系統經過了多次重整化之後變得更像一杯連續流體而不是很多小分子。這個現象也非常普遍，因為自然界中不同尺度的現象本來就是很不一樣的。你於是在文章中指出重整化可以用來研究不同尺度的規律之間的聯絡和轉變。
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