LPPLS模型參數分解

LPPLS模型

$\mathrm{E}(\ln p(t))=A+B(t_c-t)^m + C(t_c -t)^m\cos (\omega \ln (t_c -t)- \phi)$

• $\mathrm{E}(\ln p(t))$​：泡沫終止之日的預期對數價格。

• $t_c$：臨界時間（泡沫終止和過渡至新制度的日期）。

• $A$：泡沫結束時的預期對數價格，在$t_c$時達到峰值。

• $B$​：冪律加速度的振幅。

• $C$​：對數週期性振蕩的振幅。

• $m$​：超指數增長(super exponential growth)的程度。

• $\omega$​：震蕩的時間層次的縮放比例。

• $\phi$​：震蕩的時間尺度。

總共有7個待定的參數$(t_c, A, B, C, m, \omega, \phi)$。

該模型有三個組成部分，代表一個泡沫。

1. $A+B(t_c-t)^m$​：處理雙曲冪律(power law)，正向回饋(positive feedback)。對於$m<1$時，價格增長變得不可持續，而在臨界時間$t_c$，增長率變得無限大。

2. $C(t_c-t)^m$：控制對數週期(log-periodic)振盪的振幅，在臨界時間$t_c$，其值下降到零。

3. $\cos(\omega \ln(t_c -t)- \phi)$​：對數週期頻率中的振盪建模，在臨界時間$t_c$​時變得無限大。

冪律(power law)

考慮LPPLS模型中$A+Bt^m$​的部份，其中$0<m<1$​，此限制要求在$t_c$​處收斂，如果$m>1$​時，會在$t_c$​處發散。

對數價格在相異m值的變化速度, b>0

對數價格在相異m值的變化速度, b<0

# -*- coding: UTF-8 -*-
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


def power_law_component(a=2, b=3):
    t = np.linspace(1, 3, 5000)
    fig, ax = plt.subplots(2, 1, figsize=(7, 4))
    for m in np.linspace(0.01, 1. - 0.0001, 30):
        logp = a + b * t ** m
        p = np.exp(logp)
        if m > 0.8:
            ax[0].plot(t, p, label=f"m={m:.2f}")
            ax[1].plot(t, logp, label=f"m={m:.2f}")
        else:
            ax[0].plot(t, p)
            ax[1].plot(t, logp)
    for adx in range(2):
        ax[adx].legend(loc="upper left")
        ax[adx].set_xlabel("t")
        ax[0].set_title(
            r'$log(price)='
            r'{} {} {}t^m$'.format(a, "+" if b >= 0 else "", b),
            fontsize=16, color='k')

    ax[0].set_ylabel(r'price')
    ax[1].set_ylabel(r'$\log(price)$')

    plt.show()


if __name__ == '__main__':
    power_law_component(2, -3)

因為是$\log(\text{price})=A+Bt^m$​，可得$\text{price}=e^{A+Bt^m}=e^A \cdot me^{Bt}$。

所以$m\rightarrow0$​時，$\text{price} \rightarrow 0$​；反之$m \rightarrow 1$​時，價格越像指數函數。

這個冪徑的部分決定了大趨勢的向上指數增長，或向下加速下降。當 $B$負數時，則為指數加速下降。

對數週期(log-periodic)

這一部分決定了幅度遞減振盪。越接近於奇點(泡沫破裂點$t_c$ )，振盪越小，最後振盪在$t_c$處停止，則引發相變。 $t_c$相變臨界點。

對數是指$x$​軸取了$\log(t)$，而週期是指$\cos$​週期振盪，而$C(t_c-t)^m$是振盪的振幅，在$t \rightarrow t_c$​時會逐漸減小。

對數週期相異參數的變化

# -*- coding: UTF-8 -*-
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


def log_periodic(cs=[0.5, 1, 1.5, 2], omegas=[8, 16, 24, 32],
                 phis=[100, 200, 300, 400], ms=[0.25, 0.5, 0.75, 0.90]):
    fig, ax = plt.subplots(4, 1, figsize=(7, 4))
    tc = 500
    t = np.linspace(1, tc - 0.1, tc)  # [::-1]
    for c in cs:
        omega = omegas[0]
        phi = phis[0]
        m = ms[0]
        ax[0].plot(t, c * (tc - t) ** (m) * np.cos(omega * np.log(tc - t) - phi),
                   label=f"c={c:.2f}")
        ax[0].legend(loc="lower left")
        ax[0].set_xlabel("t")
        ax[0].set_ylabel("price")
    ax[0].set_title(
        r'$\log(price)='
        r'c({tc}-t)^{m:.2f} \cos({omega} \log({tc}-t)-{phi})$, m={m:.2f}'.format(
            tc=tc, omega=omega, phi=phi, m=m),
        # fontsize=14,
        color='k')

    for omega in omegas:
        c = cs[0]
        phi = phis[0]
        m = ms[0]
        ax[1].plot(t, c * (tc - t) ** (m) * np.cos(omega * np.log(tc - t) - phi),
                   label=f"$\omega$={omega:.2f}")
        ax[1].legend(loc="lower left")
        ax[1].set_xlabel("t")
        ax[1].set_ylabel("price")
    ax[1].set_title(
        r'$\log(price)='
        r'{c}({tc}-t)^m \cos(\omega \log({tc}-t)-{phi})$, m={m:.2f}'.format(
            c=c, tc=tc, phi=phi, m=m),
        # fontsize=14,
        color='k')

    for phi in phis:
        c = cs[0]
        omega = omegas[0]
        m = ms[0]
        ax[2].plot(t, c * (tc - t) ** (m) * np.cos(omega * np.log(tc - t) - phi),
                   label=f"$\phi$={phi:.2f}")
        ax[2].legend(loc="lower left")
        ax[2].set_xlabel("t")
        ax[2].set_ylabel("price")
    ax[2].set_title(
        r'$\log(price)='
        r'{c}({tc}-t)^m \cos({omega} \log({tc}-t)-\phi)$, m={m:.2f}'.format(
            c=c, omega=omega, tc=tc, m=m),
        # fontsize=14,
        color='k')

    for m in ms:
        c = cs[0]
        omega = omegas[0]
        phi = phis[0]
        ax[3].plot(t, c * (tc - t) ** (m) * np.cos(omega * np.log(tc - t) - phi),
                   label=f"$m$={m:.2f}")
        ax[3].legend(loc="lower left")
        ax[3].set_xlabel("t")
        ax[3].set_ylabel("price")
    ax[3].set_title(
        r'$\log(price)='
        r'{c}({tc}-t)^m \cos({omega} \log({tc}-t)-{phi})$'.format(
            c=c, omega=omega, tc=tc, phi=phi),
        # fontsize=14,
        color='k')

    # plt.tight_layout()
    # wspace 和 hspace 指定子圖之間保留的空間。它們分別是軸的寬度和高度的分數。
    plt.subplots_adjust(left=0.125,
                        bottom=0.1,
                        right=0.9,
                        top=0.9,
                        wspace=0.2,
                        hspace=0.5)
    plt.show()


if __name__ == '__main__':
    log_periodic()