2.fundamentals of financial markets

盡管圍繞著崩潰的戲劇性，有越來越多的學術工作表明，它們是通常的日常價格變化家族的一部分；這種觀點在理論上紮根於複雜系統理論的一些分支，認為在股市價格波動中沒有特徵規模[287]。因此，非常大的價格下跌（崩盤）只不過是沒有停止的小的下跌[26]。根據這種觀點，由於崩盤與我們在正常日子裡觀察到的其他回報屬於同一家族，它們應該是本質上不可預測的，因為它們的成核與眾多小損失的成核沒有什麼不同，而這些小損失顯然是根本無法預測的。

在第三章中，我們將詳細研究這是否真的適用於非常大的崩潰。特別是，我們將提供強有力的證據，證明大型崩潰實際上是一個單獨的聯盟：它們是 "異常值"。這種認識將需要新的解釋，因此可能暗示出一種可預測的可能性。為了得出這個令人驚訝的結論，我們首先需要回顧一些關於價格變化或價格回報的分佈（也稱為頻率）以及它們各自的相關性的基本事實。為此，我們首先介紹關於股票市場上價格變化和回報的標准觀點。一個簡單的玩具模型將說明為什麼套利機會（獲得 "免費午餐 "的可能性）通常會被知情交易者的智慧投資所沖淡，從而引出效率股票市場的概念。然後，我們將在下一章檢驗這一概念，研究損失(drawdown)的分佈，即幾天內的幾輪損失，且證明最大的損失，即崩潰（快速或緩慢），屬於自己的一類。

價格軌跡

股票市場的價格在所有時間尺度上都顯示出變化。從 "點 "的時間尺度到幾個世紀的時間尺度，價格繡出了它們複雜的軌跡。一個刻度(tick)是指從上一次交易到下一次交易的價格增量，對於活躍市場中的主要股票，通常相隔幾秒鐘或更短。最小刻度線是股票價格可以被報價的最小增量。圖2.1顯示了從1790年到2000年道瓊斯工業平均指數（DJIA）的每月報價。1929年10月的大崩盤和隨後的大蕭條是這個圖中最引人注目的模式。相比之下，在這個漫長的時間尺度上，1987年10月的崩潰幾乎看不到，只是兩條垂直線之間的一個小插曲。

圖2.1 道瓊工業平均指數的月度報價從2000年9月推算到1790年1月。縱軸使用的是對數標度，這樣一來，乘以一個固定的係數，比如說10，就相當於在這個表示中加上一個常數。在數學上，這相當於從乘法到加法的對映，並允許我們在同一張圖上顯示變化了數千倍的價格（在本例中，從1790年約3元的價值到2000年的10000元以上的價值）。粗的（分別是細的）直線對應於1780年（分別是1880年）以年報酬率≈29%（分別是6.8%）投資1美元的初始財富的指數增長，這將在2020年轉化為1000美元（分別是10000美元）。

圖2.1中的粗直線對應的是1780年投資1美元的初始財富的指數增長，年回報率為≈29%，到2020年將增長到1000美元。細的直線對應的是在1880年投資1美元的初始財富的指數增長，年回報率為68%，到2020年將增長到10000美元。它們都顯示了復利的力量! 這兩條線的比較暗示了道瓊斯工業平均指數回報率增長的加速，1780年至20世紀30年代，平均每年約為3%，然後轉變為平均每年約7%。但是，即使是這樣的描述也沒有充分捕捉到道瓊工業指數的行為：道瓊工業指數的增長甚至比細長的直線所給出的還要強，而且似乎在逐步加速上升（在本書的最後，第10章將提供人們可以從這個觀察中得出的見解）。

圖2.2顯示了從1980年1月2日到1987年12月31日道瓊工業指數的每日收盤報價。這個時間段對應的是圖2.1中兩條垂直線所包圍的區間的放大。雖然圖2.2只顯示了8年的數據，而圖2.1的數據為210年，但這兩個數字卻驚人地相似。然而，必須謹慎行事，因為兩幅圖使用的標度不同（圖2.1的序數為對數，而圖2.2的標度為線性）。我們將在第7章和第10章對這兩種圖所提供的資訊進行詳細比較。

圖2.2, 從1980年1月2日到1987年12月31日的道瓊工業平均指數的每日報價 至1987年12月31日。這個時間段對應的是圖2.1中兩條垂直線所包圍的放大的 圖2.1中兩條垂直線所包圍的區間。

報酬率軌跡

圖2.3、2.4和2.5顯示了三個時間序列的報酬，而不是價格本身，在三個非常不同的時間尺度上：在日內的交易中以分鐘為時間尺度，在八年的交易中以天為時間尺度，在兩個多世紀的交易中以月為時間尺度。

作為比較，圖2.6是通過隨機拋擲硬幣得到的，也就是說，通過隨機選擇一個正的或負的回報，其機率由高斯鐘形曲線給出，平均回報幅度（標准差）等於1%。與人工時間序列相比，真實的報酬表現出更大的變異性和變異性的聚類(即波動叢集)。

圖2.3, 1995年6月20日，標准普爾500指數的逐分鐘報報率顯示了價格動態的高度隨機性。回報波動的典型振幅在一天的開始是很大的，當交易者下訂單並發現當天的價格動態（情緒？)波動在中午前後經歷了一個低點，然後在一天結束時再次增加，此時由於收盤時交易策略的作用，交易量增加。

圖2.4, 從1980年1月2日到1987年12月31日，道瓊工業指數的每日報酬。這些系列的運行總和大約給出了圖2.2中所示的價格軌跡。請注意與1987年10月的暴跌有關的巨大回報，包括正的和負的。最大的日負報酬率（崩盤）在1987年10月19日達到-226%。最大的正收益（崩盤後的反彈）在1987年10月21日達到+97%。兩者都是完全不符合尺度的。

圖2.5，道瓊工業指數從1790年1月到2000年9月的月度報酬。這些系列的運行總和大約給出了圖2.1中所示的價格軌跡。請注意與1929年10月和1987年10月的股災有關的巨大報酬，包括正的和負的。

圖2.6，高斯白噪聲時間序列，標准偏差為1%，使用隨機數發生器構建。

令人吃驚的是，在這些時間序列中，隨機性和模式似乎是共存的。圖2.3、2.4和2.5顯示了在所有時間尺度上價格的普遍變化性。這些變化是股票市場的 "脈動"，是投資者行動的結果。圖2.1和2.2中的價格軌跡以及圖2.3、2.4和2.5中的收益率，在隨機性和表面秩序之間取得了微妙的平衡，既有一種神秘的魅力。在股票價格軌跡上觀察到的許多種結構，如趨勢、週期、繁榮和爆發，一直是社會和金融領域的科學家以及專業分析師和交易員廣泛分析的對象。後一類分析家的工作導致了這些模式的神奇詞匯，其名稱豐富多彩，如 "頭肩頂"、"雙底"、"吊人線"、"晨星"、"艾略特波 "等等（例如，見[316]）。

股票市場的投資是基於一個非常直接的規則：如果你預期市場在未來會上升，你應該買入（這被稱為在市場中做 "多"）並持有股票，直到你預期趨勢會改變方向；如果你預期市場會下降，你應該遠離它，如果你能賣出（這被稱為在市場中做 "空"），通過借入股票並在未來以較小的價格買回它。至少可以說，預測股票市場價格的未來方向是很困難的，即使我們考慮的是幾十年的時間尺度，我們可以希望 "噪音 "的影響可以忽略不計。為了說明這一點，即使是被廣泛引用的 "事實"，即在美國沒有30年的時間裡股票表現比債券差，但在1831年至1861年期間也是不正確的[378]。如果選擇10年或20年的時期，結論就更模糊了，而且不存在股票在很長一段時間內總是比債券表現好的證據[375]。比較股票和債券的重點是，債券是所謂的固定收入，並確保資本（以貨幣計價，但如果有通貨膨脹，則實際價值不大）以及固定回報。因此，債券提供了一種錨或基準，用來比較高度波動的股票。

報酬率分佈與相關性

為了決定是買還是賣，試圖瞭解價格變化的起源，價格是漲還是跌，以及什麼時候漲，似乎是有用的；更廣泛地說，價格變化的特性是什麼，可以幫助我們猜測未來？在眾多特性中，有兩個特性引起了人們的注意：價格變化（或價格報酬）的分佈和連續的價格變化（或報酬）之間的關聯性。

圖2.7，1990年1月2日至2000年9月29日期間，道瓊工業平均指數和納斯達克指數的日報酬率分佈。根據定義，這裡顯示的分佈給出了從1990年1月2日到2000年9月29日期間觀察到的大於或等於標線上某個選定值的報酬次數。因此，這些分佈是對不同觀察到的報酬的相對頻率的一種衡量。這些線條對應的是文中討論的模型對數據的擬合。

圖2.7顯示了1990年1月2日至2000年9月29日期間道瓊工業指數和納斯達克指數的每日報酬率分佈。我們在圖2.7中看到，有五次負的和五次正的道瓊工業平均指數市場回報率大於或等於4%的情況發生。相比之下，納斯達克指數出現了15個負值和20個正值，大於或等於4%的回報。與道瓊指數相比，納斯達克指數的報酬率波動較大，這也可以用所謂的波動率來量化，道瓊指數的正報酬率（分別為14%）等於16%（分別為負），而納斯達克指數的正回報率（分別為20%）等於25%（分別為負）。圖2.7中的線條對應於用所謂的指數來表示數據。納斯達克指數的符號所定義的軌跡的向上凸性符合所謂的拉伸指數模型(stretched exponential model)[253]，它體現了分佈的尾部 "更胖 "的事實；也就是說，與道瓊工業平均指數相比，納斯達克指數存在較大的下跌（以及上升）的風險。

圖2.8, 1995年6月20日這一天，標准普爾500指數期貨在分鐘時間尺度上的收益率的相關函數，其時間序列顯示在圖2.3中。請注意，在幾分鐘內，相關性快速衰減到零，並有一些振盪。這條曲線表明，有一種持續的價格波動，持續時間略多於一分鐘。兩分鐘後，價格趨於逆轉，有一個明顯的反相關（負相關），對應於一種價格的逆轉。除此之外，相關關系與噪音無異。

圖2.8顯示了1995年6月20日這一天的標准普爾500指數期貨報酬率的每分鐘時間相關函數，其時間序列如圖2.3所示。時間滯後的相關函數只不過是對現在的價格回報與過去的時間步驟的價格報酬相似程度的統計測量。換句話說，正如我們在下面的技術插圖中所顯示的，它量化了如何通過對過去的單一措施的瞭解來預測未來。

在所有可能的時間滯後（從1到無窮大）上的相關函數之和，只是與未來報酬率由於純粹的機會以外的原因而接近現在收益率的發生次數成正比。

然而，我們應該指出，零(線性)相關函數並不完全排除在某種程度上預測未來價格的可能性，因為可能是非線性相關。在圖2.8中看到的，相關函數只在很短的時間范圍內是非零的，通常是幾分鐘的量級。這意味著，超過幾分鐘，未來的價格變化不能通過對過去的簡單（線性）推斷來預測。

利用相關性的交易策略

例如，在流動性很強的股票和外匯市場上，收益的相關性極小，原因是任何顯著的相關性都會導致套利機會被迅速利用，從而被沖掉。事實上，流動性市場中的價格變化之間幾乎沒有相關性[50, 348]。

假設時間$t$​的報酬率為$r$​，而稍後的時間$t^{'}$​的報酬率為$r^{'}$​，而$r$​與$r^{'}$​均可分解成平均與變動的部份。我們感興趣的是兩者變動部份的相關性$C(r, r^{'})$

我們可以得出結論，剩餘的相關性是那些由於 "不完善 "的市場條件，小到無法通過諸如上述的策略獲利。換句話說，市場的流動性和效率控制著與幾乎沒有套利機會的相關程度。

效率市場假設與隨機漫步

這樣的觀察已經有很長一段時間了。現代金融學的一個支柱是1900年Louis Bachelier在巴黎的博士論文論文，以及他隨後的工作，特別是在1906年和1913年[25]。為瞭解釋股票市場價格的明顯無規律運動，他提出價格軌跡與隨機漫步相同。

隨機漫步(random walk)

隨機漫步的概念很簡單，但它的應用卻很豐富，不僅在金融方面，而且在物理學和自然現象的描述方面也是如此。它可以說是現代物理學以及金融學中最重要的基礎概念之一。在其最簡單的版本中，你拋出一枚硬幣，如果是正面，就往上走一步，如果是反面就往下走一步。重復拋擲多次，你最終會站在哪裡？答案是多重的：平均而言，你保持在相同的位置，因為下降一步和上升一步的平均數相當於沒有移動。

然而，很明顯的是，在這個零平均數周圍存在著波動，這種波動隨著拋擲次數的增加而增加。通過拋擲 "計算機硬幣 "來決定是讓價格上升還是下降，模擬了一個合成隨機市場價格的軌跡。在這個模擬中，步驟或增量具有隨機符號，其振幅按照所謂的高斯分佈，即著名的鐘形曲線分佈。

圖2.9, 通過拋擲 "計算機硬幣 "來決定是否使價格上升或下降而獲得的合成隨機市場價格（或隨機行走的位置）。在這個模擬中，步驟或增量具有隨機符號，其振幅根據所謂的高斯分佈分佈，有1%的標准偏差。圖2.6中使用了相同的增量：因此這裡觀察到的合成價格軌跡只不過是圖2.6中顯示的增量的運行總和。

以眼睛來看，除了在價格暴跌導致跳躍的時候，或者像圖2.1和2.2那樣出現強烈的市場趨勢或加速的時候，相當難看出合成的價格軌跡和典型的價格軌跡之間的區別，例如圖1.7-1.8。這對投資目標來說是個壞訊息：如果價格變化真的像隨機拋出的硬幣一樣，似乎不可能知道今天和明天之間，或者其他任何兩個時間之間的價格方向。

隨機漫步的縮放屬性

為了對隨機漫步模型能夠構成股票市場價格的良好模型有一個更量化的感覺，請考慮圖2.3、2.4和2.5中三個非常不同的時間尺度（分鐘、天和月）的報酬時間序列。隨機漫步模型最重要的預測是，其位置波動的平方應該與時間尺度成比例增加。這相當於說，其位置的典型振幅與時間尺度的平方根成正比。這意味著，例如，如果我們看四分鐘間隔的回報，典型的回報振幅應該是分鐘時間尺度上的兩倍（而不是四倍）。

這個結果是微妙而深刻的：因為一個隨機行走者有相同的機率邁出正步或負步，平均來說，他的位置仍然在他開始的地方。然而，直觀的是，當他隨機積累步數時，他的位置會偏離准確的平均值，時間越長，他的位置與原點的偏差越大。隨機行走者不是以恆定的速度巡航，使他的位置隨時間成比例地增加，而是描述一種不穩定的運動，在這種運動中，他的位置的典型波動比時間的線性增加更慢，實際上是時間的平方根。這種緩慢的增加是由於他的步階在所有尺度上向上和向下的多次回溯造成的。由於台階有隨機的正負號，它們的平方總是正的，因此步階的平方之和與步階的數量，也就是與時間成正比增加。由於步階符號的隨機性，總位移的平方等於步階的平方之和。因此，我們有這樣一個結果：隨機漫步中典型波動幅度的平方與時間成正比增加。

一個寓言：資訊是如何被納入價格中的，從而破壞了潛在的 "免費午餐"

風險-報酬權衡