3. financial crashes are “outliers”

什麼是 "異常 "回報？(abnormal return)

股票市場可以表現出非常大的動作，如反彈和崩盤。我們應該期待這些極端的變化嗎？或者我們應該認為它們是反常的？

異常是一個相對的概念，與被認為是 "正常 "的東西相比較。讓我們舉個例子。在Bachelier-Samuelson的金融世界中，收益率是按照高斯鐘形分佈的，所有的收益率都是按照一個基本的 "標尺 "來衡量的，這個標尺叫做標准差。考慮一下圖2.4所示的道瓊斯指數的每日時間尺度和相應的收益時間序列。正如我們在第二章指出的，標准差接近1%。在這個高斯世界裡，很容易量化觀察到一個給定回報振幅的概率，如表3.1所示。我們讀到，通常在1.5年內應該只觀察到一次超過3%的日回報振幅。超過4%的日回報振幅通常在63年內才會出現一次，而超過5%的回報振幅在我們有限的歷史中應該永遠不會出現。

有了這個表3.1，現在就很清楚，根據高斯模型，什麼是 "正常"，什麼可以被認為是 "不正常"。1987年10月19日-226%的下跌和1987年10月21日+97%的反彈是不正常的：根據標準高斯模型，它們不應該發生。它們本質上是不可能的。它們發生的事實告訴我們，市場可以大大偏離常態。當它這樣做時，市場創造的 "怪物 "事件是 "異常值"。換句話說，它們位於 "外面"，超出了其他報酬群體的可能性。

在現實中，報酬的分佈不是高斯的，如圖2.7所示。如果是這樣的話，它們在這個半對數圖中就會顯示為倒拋物線。近似的線性依存關係更像是一種離指數規律不遠的依存關係。在這個新的改進的表示法中，我們可以再次計算觀察到報酬振幅大於，例如，10個標準差（在我們的例子中為10%）的機率。結果是0.000045，這相當於22026天，或88年發生一次。1987年10月20日的反彈變得不那麼特別。然而，1987年10月19日的226%的下降將對應於5.2億年的一個事件，這使它有資格成為一個 "異常值"。

因此，根據指數模型，10%的報酬振幅並不能明確地、無可爭議地成為 "異常值"。此外，我們看到，我們對正常和異常收益的區分取決於我們對頻率分佈的選擇。確定什麼是頻率分佈的正確描述，特別是對於大的正負收益，是一個微妙的問題，仍然是一個研究的熱點領域。由於缺乏對頻率分佈的最佳選擇的確定性，這種方法似乎不是最適合於描述異常事件的特徵。到目前為止，我們只研究了報酬的分佈或頻率。然而，複雜的時間序列的報酬有許多其他的結構沒有被頻率分佈所捕獲。我們已經討論了圖2.8所示的相關函數方面的額外診斷方法。現在我們介紹另一種診斷方法，它允許我們以更精確和非參數的方式來描述異常市場階段的特徵，也就是說，不用參考頻率分佈的具體數學表示。

回撤、回落(DRAWDOWNS)

一個超越簡單的頻率統計和線性相關的措施是由 "回撤 "的統計提供的。回撤被定義為連續幾天的價格持續下降。如圖3.1所示，回撤是指從價格的上一個最高點到下一個最低點的累積損失(絕對損失)。回撤是我們關心的指標：它們直接衡量一項投資可能遭受的累積損失。它們也量化了投資者在當地高點買入並在下一個最低點賣出的最壞情況。因此，值得問的是，在回撤分佈中是否存在價格變動所沒有的結構。

回撤體現了一種相當微妙的依賴性，因為它們是由相同符號變化的運行(runs)構成的（見下文）。因此，它們的分佈可以捕捉到連續的下降可以相互影響的方式，並以這種方式建構一個持久的過程。這種永續性不是由報酬的分佈來衡量的，因為根據它的定義，它忘記了報酬的相對位置，因為它只計算了它們的頻率，就把它們作為時間的函數解開了。兩點相關函數(係數)也沒有檢測到這一點，它測量的是整個時間序列的平均線性依賴性，而這種依賴性可能只出現在特殊時期，例如非常大的運行(時間長度)，我們將在下面證明，這種特徵將被全域性平均化程式淘汰。

零相關但高可預測性的非線性模型

為了更好地理解連續的價格變化中的微妙的依賴性是如何通過回撤來衡量的，讓我們玩以下遊戲，其中價格增量 $\delta p(t)$ 是根據以下規則建構的：

\delta p(t)=\epsilon(t)+\epsilon(t-1)\epsilon(t-2)

其中 $\epsilon(t) \sim WN(0, 1)$ 為白噪音過程。

假設 $\epsilon(t)=\{+1, -1\}$ ，出現機率各為50%。則上式意味著今天的價格變化是由三次隨機拋硬幣控制的，一次是今天，一次是昨天，一次是前一天，這樣，今天的正硬幣拋出以及昨天和前天的兩次相同的硬幣拋出都會使價格上升。反之，如果今天拋出一枚負硬幣，以及昨天和前天拋出兩枚不同的硬幣，價格就會下跌。

可得 $\mathrm{E}(\delta p(t_1) \delta p(t_2))=0, ~ t_1 \neq t_2$ 且 $\delta p(t) \sim WN(0,1)$ 。

但是三點的相關函數之值 $\mathrm{E}(\delta p(t-2) \delta p(t-1) \delta p(t))=1$ 且 $\mathrm{E}(\delta p(t) ~| ~ \delta p(t-1), \delta p(t-2)) =\delta p(t-2) \delta p(t-1) \neq 0$ ，這意味著，知道昨天和前天的價格變化，預測今天的價格變化的成功率要比50%高。

雖然頻率分佈和兩點相關函數對這種依賴結構是盲目的，但回撤的分佈表現出特定的診斷。為了簡化分析並使資訊非常清楚，讓我們再次限制 $\epsilon(t)$ 只能取兩個值 $\pm 1$ 的情況。則 $\delta p(t)$ 可為三個值，0或 $\pm 2$ ，其對應如下：

e(t-2),e(t-1), e(t)

d p(t)

+++

++2

+-+

+--

-2

-++

-+-

-2

--+

---

通過這個顯式構造，我們直接看到 $\delta p(t)$ 是一個白噪聲過程。但是，有一個明確的可預測性，回撤分佈反映了這一點:沒有超過兩個時間步驟的持續時間回撤。事實上，最壞的回撤可能對應如下 $\epsilon$ 順序:-−+−0。這對應於價格增量的序列 $+2,−2,−2$ ，如果下一個是+，則該序列被+2終止，或者在第一個= +處被+2中斷的0序列。雖然 $\epsilon(t)$ 過程的回撤原則上可以無限持續，但 $p(t)$ 的回撤不能。這表明由(5)定義的 $\delta p(t)$ 過程的結構在 $p(t)$ 中的回撤分佈中有一個戲劇性的標誌。這說明，相對於每日或每週收益或任何其他固定時間尺度的報酬，下跌是更充分的價格波動的時間彈性指標。

回撤與“異常值”的檢測

為了進一步證明回撤中包含的新資訊，並將其與固定時間範圍的報酬進行對比，讓我們考慮一個假設的情況：在三天內發生30%的崩潰，連續三個損失恰好為10%。因此，崩潰被定義為總損失或回撤30%。

現在，讓我們不去看回撤情況，而是遵循共同的方法，研究每天的資料，特別是每天的報酬分佈。30%的回撤現在被視為連續三個交易日下跌10%。要認識到的關鍵一點是，建構報酬分佈相當於計算觀察到給定報酬的天數（註：只有考慮次數，沒有考慮報酬發生的連續性）。因此，在沒有三個損失是連續發生的資訊的情況下，回撤將導致三天10%的損失。

為了瞭解這種資訊損失意味著什麼，我們考慮一個市場，其中每天損失10%的情形通常每四年才發生一次(這對納斯達克綜合指數目前的高波動性並不是一個不合理的數字)。每年計算大約250個交易日，4年對應1000個交易日，1000天中的一個事件對應1/1000 = 0.001的機率為每日損失10%。30%的暴跌被分析為三個不太引人注目的事件(每一個事件的平均復發時間相對較短，為四年)。當我們問，根據這個描述，連續三個交易日虧損10%的機率是多少時，情況變得更加複雜了?基本機率告訴我們，它是每日損失10%的機率乘以每日損失10%的機率乘以每日損失10%的機率。如果三個事件被認為是獨立的，則機率乘積規則成立。該產品給出 $0.001 \times 0.001 \times 0.001 = 10^{−9}$ 。這相當於10億個交易日中的一個事件。因此，我們應該等待400萬年才能見證這樣的事件。

出了什麼問題?簡單地說，在特殊的時候，檢視每日報酬和它們的分佈已經破壞了每日報酬可能相關的資訊。我們估計連續三個損失10%是完全不可能的，這是基於這三個事件是獨立的錯誤假設。連續報酬收益之間的獨立性在大多數時候都得到了很好的驗證。然而，大的回撤可能不是獨立的。換句話說，可能會出現“依賴性的爆發”，也就是“可預測性的小塊”。

顯然，回撤能精準地保留有關確定可能爆發的區域性依賴導致可能非常大的累積損失的資訊。

“正常”回撤的預期分佈

在返回資料之前，我們應該問問自己，在隨機漫步假設的基礎上，我們可以期望什麼。如果價格變化是獨立的，正面+和負面−的波動就像拋硬幣時的“正面”和“反面”一樣相互跟隨。對於價格變化的對稱分佈，從一個正的，+開始，出現一個負的，−的機率是1/2。連續有兩個負號的機率是1/2 × 1/2 = 1/4；連續出現三個負號的機率是1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8，依此類推。

對於每一個額外的負數，我們觀察到機率被除以2。這定義了所謂的指數分佈，描述了這樣一個事實，即增加一個時間單位的下降，使其可能性加倍。這個指數定律也被稱為泊松（Poisson)定律，描述了沒有記憶(memoryless)的過程：對於+−−−序列，連續發生四個負號的事實並不會改變新事件發生的機率，無論是正號還是負號，新事件發生的機率都是1/2。

這樣一個無記憶的過程似乎是違反直覺的(許多人寧願在連續十次正面後押下一個反面，也不願押下另一個正面;這通常被稱為“賭徒謬論”)，但它精準地反映了我們所說的完全隨機性：在一次公平拋硬幣的過程中，可能連續出現十個正面。第11個事件仍然有1/2的機率是正面。這種隨機過程的記憶缺失可以這樣表述：給定過去連續 $n$ 個負號的觀察結果，下一個負號的機率仍然為1/2，而與 $n$ 的值無關。任何偏離負號指數分佈的情況都將表明該過程中存在某種相關性，因此有可能預測未來的事件。

因為，在隨機無記憶模型中，一個時間步長的回撤持續時間是原來的一半，所以很容易在對數尺度上可視化股票市場回撤的經驗分佈，其中回撤的預期指數分佈變成了一條直線。這是一種相當有效的方法來測試假設的有效性：偏離直線將意味著偏離指數分佈，從而偏離記憶缺失的假設。

下面提出的關於“異常值”存在的證據並不依賴於泊松定律的有效性。實際上，我們已經發現在大量的回撤分佈中有輕微的偏離，這表明連續價格報酬之間的獨立性假設有微妙的偏離。這就把我們引向了一個相當微妙的問題，甚至在一段時間內，我們一些最聰明的同事都沒有注意到它，而且仍然被許多其他人所忽視。這一微妙的觀點是，異常值和極端事件的證據並不要求，甚至一般不等同於回撤分佈的中斷。

讓我們借用另一個積極的科學調查領域，即尋求理解湍流流動(如山區河流或大氣天氣)中渦流和漩渦的複雜性，來生動有力地說明這一點。由於解決這些流動的精確方程並不能提供太多的見解，因為結果令人生畏，一個有用的解決方法是通過研究簡單的玩具模型來簡化問題，例如湍流的所謂“殼”模型，人們相信這些模型能捕捉到這些流動的基本成分，同時易於分析。這種“殼”模型以一系列均勻的洋蔥狀球形層取代三維空間域，這些層的半徑以幾何級數遞增 $1,2,4,8,\cdots, 2^n$ ，彼此之間主要與最近的鄰居進行通訊。

如同金融報酬，一個非常有趣的量是在相同位置的兩個瞬間之間或同時在兩個點之間的速度變化的分佈。這種速度變化的平方分佈如圖3.2所示。請注意直線所代表的近似指數下降，以及右側值在4到7及以上(未顯示)的較大波動共存。通常，如此大的波動被認為在統計上不顯著，不能提供任何具體的見解。在這裡，可以表明這些流體速度的大波動對應密集的峰值，在幾個具有鐘形特徵的殼層上相干地傳播，大約與它們的振幅和持續時間無關(直到它們的大小和持續時間的縮放)。當延長觀測時間，以便更好地採樣圖3.2中4以外的異常波動時，我們得到了圖3.3所示的連續曲線(除了一些殘餘噪聲始終存在)。在這裡，三條曲線中的每一條都對應於給定殼層( $n=11,15, 18$ )中分佈的測量。

在圖3.3中，進行了標準變換，即收縮或放大每條曲線的橫坐標和縱坐標，使三條曲線相互摺疊。如果這樣做成功了，這意味著，在單位的定義之前，這三種分佈是相同的，這對理解潛在的機制以及未來用於風險評估和控制非常有幫助。我們天真地認為，在每個殼層中應用的物理原理是相同的，因此，它們的分佈應該是相同的，直到單位的變化反映了每層所體現的不同尺度。在這裡，我們觀察到三條曲線確實很好地坍縮了，但只適用於小的速度波動，而大的波動則用非常不同的厚尾來描述。或者，當一個人試圖在大速度波動的區域內摺疊曲線時，那麼接近原點的曲線部分根本沒有摺疊，並且非常不同。值得注意的結論是，速度增量的分佈似乎由兩個區域組成，一個是所謂的“正常縮放”區域，一個是極端事件區域。

下面是這次討論得出的資訊.：異常值和極端事件的概念並不是基於分佈不應該是平滑的要求，如圖3.2的右側所示。噪聲和構造分佈的過程幾乎總是平滑曲線。這裡發現[252]，該分佈由兩個不同的種群組成，身體和尾巴，它們具有不同的物理性質、不同的尺度和不同的性質。這是一個清楚的證明，這個湍流模型在某種意義上顯示出了異常值，有一個定義明確的非常大的和相當罕見的事件的總體，它們打斷了動力學，不能被視為小波動的放大版本。人們很容易猜測，湍流的反常“尺度”特性可能同樣受正常無害速度波動和極端集中事件的共存控制，可能與特定的渦流或其他相關結構有關[371]。

因此，小事件的分佈可能顯示出一些曲率或連續行為的事實並不能說明任何反對異常值假設的事情。在研究下面提出的關於回撤的證據時，必須牢記這一點。

股票市場指數的回撤分佈

道瓊工業平均指數

圖3.4顯示了本世紀道瓊工業指數收益的回撤分佈。

上一節討論的指數分佈是在假定連續的價格變化是獨立的基礎上推斷出來的。對於大多數交易日來說，有大量證據可以證明這一假設的正確性[68]。然而，例如，考慮一下本世紀道瓊工業指數出現的14次最大跌幅。它們的特點見表3.2。只有3個持續了1 - 2天，而9個持續了4天或更長時間。讓我們特別檢查一下最大的回撤。它始於1987年10月14日(十進制年份為1987.786)，持續了4天，導致總損失為- 30.7%。這次暴跌是連續四次下跌：第一天，指數下跌了38%；第二天，下跌61%；第三天，下跌104%；第4天30.7%。從連續下跌的情況看，1987年10月的黑色星期一是3.8%、2.4%、4.6%、22.6%。

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